EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

 Em mecânica quântica, o princípio da incerteza (também chamado princípio da incerteza da Heisenberg), formulado em 1927 por Werner Heisenberg, é um enunciado que estabelece um limite fundamental para a precisão com que certos pares de propriedades de determinada partícula física, conhecidas como variáveis complementares (tais como posição e momento linear), podem ser conhecidos. No seu artigo de 1927, Heisenberg propõe que, em nível quântico, simultaneamente, quanto menor for a incerteza na medida da posição de uma partícula, maior será a incerteza do seu momento linear e vice-versa.^[1]

Esses pares de variáveis são conhecidos como variáveis complementares ou variáveis conjugadas canonicamente e, dependendo da interpretação, o princípio da incerteza limita até que ponto tais propriedades conjugadas mantêm o seu significado aproximado, já que a estrutura matemática da mecânica quântica não apoia a noção de propriedades conjugadas simultaneamente bem definidas expressas por um único valor. O princípio da incerteza implica que geralmente não é possível prever o valor de uma quantidade com certeza arbitrária, mesmo se todas as condições iniciais forem especificadas.^[2]

O princípio da incerteza é um dos aspectos mais conhecidos da física do século XX e é comumente apresentado como um exemplo claro de como a mecânica quântica se diferencia das premissas elementares das teorias físicas clássicas,^[3] porque, na mecânica clássica, quando conhecemos as condições iniciais, consegue-se determinar com precisão o movimento e a posição dos corpos de forma simultânea. Ainda que o princípio da incerteza tenha a sua validade restrita ao nível subatômico, ao inserir valores como indeterminação e probabilidade no campo do experimento empírico, tal princípio constitui uma transformação epistemológica fundamental para a ciência do século XX.^[4] Essa transformação conduziu à discrepâncias na interpretação do conteúdo físico, surgindo versões conceitualmente distintas para as relações de incerteza, podendo ser interpretadas como relações de incerteza ou indeterminação.^[5]

Expressão

Pode-se exprimir o princípio da incerteza nos seguintes termos:

O produto da incerteza associada ao valor de uma coordenada x_i e a incerteza associada ao seu correspondente momento linear p_i não pode ser inferior, em grandeza, à constante reduzida de Planck.^[6] Em termos matemáticos, exprime-se assim:

${\displaystyle \Delta x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$/ = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

onde ${\displaystyle \hbar }$ é a Constante de Planck (h) dividida por 2π.

A explicação disso não é fácil de se entender, e fala mesmo em favor da intuição, embora o raciocínio clássico e os aspectos formais da análise matemática tenham levado os cientistas a pensarem diferentemente por muito tempo. Quando se quer encontrar a posição de um elétron, por exemplo, é necessário fazê-lo interagir com algum instrumento de medida, direta ou indiretamente. Por exemplo, faz-se incidir sobre ele algum tipo de radiação. Tanto faz aqui que se considere a radiação do modo clássico - constituída por ondas eletromagnéticas - ou do modo quântico - constituída por fótons. Caso se queira determinar a posição do elétron, é necessário que a radiação tenha comprimento de onda da ordem da incerteza com que se quer determinar a posição.^[7]

Neste caso, quanto menor for o comprimento de onda (maior frequência), maior será a precisão. Contudo, maior será a energia cedida pela radiação (onda ou fóton) em virtude da relação de Planck entre energia e frequência da radiação

${\displaystyle E=h\cdot \nu }$/ = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

e o elétron sofrerá um recuo tanto maior quanto maior for essa energia, em virtude do efeito Compton. Como consequência, a velocidade sofrerá uma alteração não de todo previsível, ao contrário do que afirmaria a mecânica clássica.

Argumentos análogos poderiam ser usados para se demonstrar que, ao medir-se a velocidade com precisão, alterar-se-ia a posição de modo não totalmente previsível.

Resumidamente, pode-se dizer que tudo se passa de forma que quanto mais precisamente se medir uma grandeza, forçosamente mais será imprecisa a medida da grandeza correspondente, chamada de canonicamente conjugada.

Algumas pessoas consideram mais fácil o entendimento através da analogia. Para descobrir-se a posição de uma bola de plástico dentro de um quarto escuro, podemos emitir algum tipo de radiação e deduzir a posição da bola através das ondas que "batem" na bola e voltam. Se quisermos calcular a velocidade de um automóvel, podemos fazer com que ele atravesse dois feixes de luz, e calcular o tempo que ele levou entre um feixe e outro. Nem radiação nem a luz conseguem interferir de modo significativo na posição da bola, nem alterar a velocidade do automóvel. Mas podem interferir muito tanto na posição quanto na velocidade de um elétron, pois aí a diferença de tamanho entre o fóton de luz e o elétron é pequena. Seria, mais ou menos, como fazer o automóvel ter de atravessar dois troncos de árvores (o que certamente alteraria sua velocidade), ou jogar água dentro do quarto escuro, para deduzir a localização da bola através das pequenas ondas que baterão no objeto e voltarão; mas a água pode empurrar a bola mais para a frente, alterando sua posição. Desta forma torna-se impossível determinar a localização real desta bola, pois a própria determinação mudará a sua posição. Apesar disto, a sua nova posição pode ser ainda deduzida, calculando o quanto a bola seria empurrada sabendo a força das ondas obtendo-se uma posição provável da bola e sendo provável que a bola esteja localizada dentro daquela área.^{[carece de fon}

O problema de hierarquia é um enigma, em física teórica, causado pela não-existência de uma explicação sobre os motivos da existência da grande discrepância entre os aspectos da força nuclear fraca e gravidade.^[1]

Existem várias maneiras diferentes de descrever essa hierarquia, cada uma destaca uma característica diferente do problema. Aqui está um exemplo:

• A massa do mais pequeno possível buraco negro, define o que é conhecido como o massa de Planck. Uma maneira mais precisa seria a definição é como uma combinação de constante gravitacional de Newton (${\displaystyle G}$), quantum constante h (leia "h-barra") de Planck e a velocidade da luz ${\displaystyle c}$. A massa de Planck é a raiz quadrada de h-barra vezes ${\displaystyle c}$ dividido por ${\displaystyle G}$.^[2]

${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$≈ 1.2209×10¹⁹ GeV/c² = 2.17651(13)×10⁻⁸ kg=21.7651 µg=1.3107×10¹⁹ amu.^[3]

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

As massas das partículas W e Z, as portadoras da força nuclear fraca, são cerca de 10 000 000 000 000 000 vezes menores que a massa de Planck. Assim, há uma enorme hierarquia nas escalas da massa de forças nucleares fracas e gravidade.

Mas ao tentar descobrir uma possível explicação para o problema acima, os físicos na década de 1970 perceberam que havia realmente um problema sério, até mesmo um paradoxo, por trás desse número. A questão, agora chamada do problema da hierarquia, tem a ver com o tamanho do campo de Higgs diferente de zero, o que por sua vez determina a massa das partículas W e Z.^[4][5]

Em mecânica quântica, um propagador é uma função ou distribuição que descreve a amplitude da probabilidade de uma partícula se mover de uma posição para outra. Tecnicamente, é a função de Green para a equação do movimento.

Definição

Partícula não-relativística

O propagador ${\displaystyle K(x,t;x',t')}$ é uma função ou distribuição que verifica a seguinte equação:

${\displaystyle \left(\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-H\right)K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\delta (x-x')\delta (t-t')}$ ./

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Aqui ${\displaystyle H}$ é o hamiltoniano e ${\displaystyle \delta }$ é a distribuição dirac.

Por exemplo, considere uma partícula não relativística livre. O propagador, portanto, verifica:

${\displaystyle \left(\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\delta (x-x')\delta (t-t')}$ .

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Para resolver isso, converta em momento- e espaço de frequência :

${\displaystyle (\hbar \omega -\hbar ^{2}p^{2}/2m)K(\mathbf {p} ,\omega )=1}$ .

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Seguindo-se que:

${\displaystyle K(\mathbf {p} ,\omega )={\frac {1}{\hbar \omega -\hbar ^{2}p^{2}/2m}}}$ ./

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Converta de volta para posição e espaço-tempo:

${\displaystyle K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\int {\frac {\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {k} \;\operatorname {d} \!\omega }{(2\pi )^{4}}}\exp(\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\omega (t-t')))K(\mathbf {p} ,\omega )}$ ./

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

A integral é ambígua, porque tem um pólo em

${\displaystyle \omega =\hbar p^{2}/2m}$ ./

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Deve-se desambiguar a integral adicionando um infinitesimal, mas existem dois sinais possíveis (Por isso o propagador não é único). Ao adicionar um infinitesimal pode-se calcular:

${\displaystyle K_{\pm }(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')}$

${\displaystyle =\int {\frac {\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {k} \;\operatorname {d} \!\omega }{(2\pi )^{4}}}\exp(\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\omega (t-t'))){\frac {1}{\hbar \omega \pm \mathrm {i} \epsilon -\hbar ^{2}p^{2}/2m}}}$

${\displaystyle =\mp {\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\theta (\pm t\mp t')\left({\frac {m}{2\pi \mathrm {i} \hbar (t-t')}}\right)^{3/2}\exp \left({\frac {\mathrm {i} m}{2\hbar (t-t')}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} ')^{2}\right)}$ ,/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Onde:

${\displaystyle \theta (x)={\begin{cases}1&{\text{se }}x>0\\0&{\text{se }}x<0\end{cases}}}$

Representa a função de Heaviside. A função ${\displaystyle K_{+}}$ chamada de propagador passado (retarded em inglês), porque ${\displaystyle K_{+}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')}$ é diferente de zero apenas se ${\displaystyle t>t'}$. Enquanto isso, a função ${\displaystyle K_{-}}$ é chamada de propagador futuro (advanced em inglês), porque ${\displaystyle K_{-}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')}$ é diferente de zero apenas se ${\displaystyle t<t'}$.

Partícula relativística

Usamos uma convenção de sinalização ${\displaystyle +---}$ para a métrica que, ${\displaystyle x\cdot y=x^{0}y^{0}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }$.

Uma partícula escalar relativística verifica a equação de Klein-Gordon . Daí o propagador ${\displaystyle K(x,y)}$ de uma partícula escalar relativística é definido como a função de Green da equação de Klein-Gordon. Eis:

${\displaystyle (\partial ^{2}+m^{2})K(x,y)=-\delta (x-y)}$ ./

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Para resolver, converte-se em momento linear:

${\displaystyle (p^{2}-m^{2})K(p)=1}$ ./

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Então:

${\displaystyle K(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}}}}$ ./

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Converte-se de volta para o espaço de posição:

${\displaystyle K(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{p^{2}-m^{2}}}}$ . /

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

A integral é ambígua porque tem dois pólos em:

${\displaystyle p^{0}=\pm (\mathbf {p} ^{2}+m^{2})}$ . /

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Deve-se desambiguar a integral adicionando um infinitesimal. De acordo com a teoria da integral curvilínea, podemos subir ou descer em cada pólo. Portanto, existem quatro métodos diferentes para eliminar a ambiguidade da integral; o propagador não é único. Se subirmos pelos dois pólos, o passado (em inglês retarded) será encontrado:

${\displaystyle K_{\mathrm {R} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{(p_{0}+\mathrm {i} \epsilon )^{2}-\mathbf {p} ^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle ={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {J} _{1}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}x^{0}>y^{0}{\text{ kaj }}s\geq 0\\0&{\text{alie}},\end{cases}}}$/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Onde ${\displaystyle \operatorname {J} _{1}}$ representa a função de Bessel de primeiro tipo e ${\displaystyle s=(x-y)^{2}}$. Se descermos em ambos os pólos, o propagador futuro (advanced) será encontrado:

${\displaystyle K_{\mathrm {A} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{(p_{0}-\mathrm {i} \epsilon )^{2}-\mathbf {p} ^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle ={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {J} _{1}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}x^{0}<y^{0}{\text{ kaj }}s\geq 0\\0&{\text{alie}}.\end{cases}}}$/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Se descermos pelo pólo esquerdo (em ${\displaystyle p^{0}=-{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}}$ e para cima através do pólo direito (em ${\displaystyle p^{0}=+{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}}$), O propagador de Feynman será encontrado:

${\displaystyle K_{\mathrm {F} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} p\cdot (x-y))}{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}$

${\displaystyle ={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {H} _{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}s\geq 0\\-\mathrm {i} m\operatorname {K} _{1}(m{\sqrt {-s}})/(4\pi ^{2}{\sqrt {-s}})&{\text{se }}s<0,\end{cases}}}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Onde ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}^{(1)}}$ representa a função de Hankel de primeiro tipo e ${\displaystyle \operatorname {K} _{1}}$ significa a função modificada de Bessel de segundo tipo. Se subirmos pelo pólo esquerdo e descermos pelo pólo direito, o propagador de Dyson encontrar-se-á:

${\displaystyle K_{\mathrm {D} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} p\cdot (x-y))}{p^{2}-m^{2}-\mathrm {i} \epsilon }}}$

${\displaystyle ={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {H} _{1}^{(2)}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}s\geq 0\\\mathrm {i} m\operatorname {K} _{1}(m{\sqrt {-s}})/(4\pi ^{2}{\sqrt {-s}})&{\text{se }}s<0,\end{cases}}}$/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Onde ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}^{(2)}}$ representa a função de Hankel do segundo tipo .

Os quatro propagadores verificam as seguintes equações.

${\displaystyle K_{\mathrm {R} }+K_{\mathrm {A} }=K_{\mathrm {F} }+K_{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle K_{\mathrm {R} }(x-y)=K_{\mathrm {A} }(y-x)}$

${\displaystyle K_{\mathrm {F} }(x-y)=K_{\mathrm {F} }(y-x)=K_{\mathrm {D} }(x-y)^{*}}$

${\displaystyle K_{\mathrm {D} }(x-y)=K_{\mathrm {D} }(y-x)=K_{\mathrm {F} }(x-y)^{*}}$ ./

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Além disso, os propagadores exprimem-se com valores esperados vazios de operadores de campo:

${\displaystyle K_{\mathrm {R} }(x-y)=-\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle }$

${\displaystyle K_{\mathrm {A} }(x-y)=\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle }$

${\displaystyle K_{\mathrm {F} }(x-y)=-\mathrm {i} \langle 0|{\mathsf {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle =-\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle -\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|\phi (y)\phi (x)|0\rangle }$

${\displaystyle K_{\mathrm {D} }(x-y)=\mathrm {i} \langle 0|{\mathsf {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}^{\dagger }|0\rangle =\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|\phi (y)\phi (x)|0\rangle +\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle }$ .

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Partícula com rotação

Para uma partícula dirac ${\displaystyle \psi }$ seguindo a equação de dirac:

${\displaystyle (\gamma \cdot \partial +m)\psi =0}$ ,

o propagador é definido semelhantemente:

${\displaystyle (\gamma \cdot \partial +m)K(x-y)=\delta (x-y)}$ .

No momento de espaço:

${\displaystyle K_{\mathrm {F} }(p)={\frac {1}{\gamma \cdot p-m+\mathrm {i} \epsilon }}={\frac {\gamma \cdot p+m}{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}$/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

para o propagador de Feynman, etc.

Para uma partícula vetoral${\displaystyle A}$ de massa zero (por exemplo, o fóton), existem vários ‘gauges’ possíveis. Um medidor simples é o medidor de Lorenz ${\displaystyle \partial \cdot A=0}$. Portanto, a partícula segue as equações de Maxwell com um termo gaussiano:

${\displaystyle \partial ^{2}A_{\mu }=0}$ .

O propagador é definido de forma semelhante:

${\displaystyle \partial ^{2}K_{\mu \nu }(x-y)=\delta (x-y)}$ .

No momento linear do espaço o propagador (de Feynman, etc.) é:

${\displaystyle K_{\mathrm {F} \mu \nu }(p)={\frac {-g_{\mu \nu }}{p^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}$ ./

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  =